Contaré la historia lo más breve que pueda:
Desde primero de preparatoria nuestro profesor de Álgebra nos enseñó el binomio al cuadrado, que se me hizo fácil, y el binomio al cubo, que me pareció algo difícil de recordar si uno no está en el juego de las matemáticas siempre:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Y con la falta de práctica y el tiempo lo olvidé. Pero por varias razones lo tuve que volver a ocupar después, ya que al ser el álgebra el idioma universal de las matemáticas, tarde o temprano se encuentra uno con estas cosas al estudiar otras ramas derivadas. En mi caso me topé con derivadas en otro semestre de prepa, con integrales en uno más, nuevamente álgebra en el curso de nivelación de la universidad, derivadas otra vez al siguiente semestre, e integrales otra vez. Y ocurre que al despejar o hacer malabares para resolver esas formas matemáticas, a veces uno se encuentra nuevamente a esos nuevos amigos, el binomio al cuadrado, y el binomio al cubo; pero en raras ocasiones uno se topa con el binomio a la cuarta, o a la quinta, y entran los despejes.
Siguiendo con la historia, una vez me propuse sacar varios para ver si descubría un patrón, y lo hice a medias, pero lo olvidé porque casi nunca se ocupan. Después, años o muchos meses (no recuerdo) lo volví a hacer para descubrir el patrón, pero nuevamente quedé a medias. Fue más que nada por el tiempo, ya que sacar los primeros cuatro exponentes del binomio es relativamente fácil, el problema viene del quinto para adelante, no es que sea la gran odisea, sino que nunca le dediqué demasiado empeño.
Actualmente decidí que, para cuando lo vaya a necesitar, es bueno tener un formulario completo desde matemáticas, que vaya del álgebra al cálculo, y todo lo que sirva. Esto se debe a que muchas veces me vi en la necesidad de conseguir fórmulas de derivadas, de integrales, de límites, de álgebra... ¡repetidas veces! Es porque voy en la escuela y ahí los formularios suelen ser temporales: usar y tirar. Pero si luego, por algún motivo, se necesita recurrir a una fórmula antigua, entre estudiantes se suelen preguntar, o se consiguen en Internet, o se recurre a libros. Yo varias veces he tenido que consultar fórmulas que ya tenía en formularios anteriores. Así que por eso decidí crear un formulario único y que contenga las fórmulas y propiedades más usadas.
Lo hice público por si lo recomiendo a alguien o para el que le sea útil; actualmente se puede encontrar en http://goo.gl/8w4Y2
Lo que señalo en este blog está en el apartado de Álgebra, es la tabla "Factorización / Producto notable".
Las fórmulas las estoy reuniendo de varias fotocopias de formularios que he ido conservando. El más reciente lo hice en los últimos semestres de prepa si mal no recuerdo, en el 4°, 5° o 6°.
Vi que las primeras dos fórmulas eran el binomio al cuadrado y al cubo y me dije que esta vez sí tenía que identificar el patrón para crear un binomio a la 'n' potencia. Así que rápidamente anoté el binomio al cuadrado, luego al cubo, y en una hoja que tengo junto a mí estuve sacando hasta el binomio a la sexta y tipeándolos en el documento.
Como era de esperar, saqué la mayoría de sus patrones casi al instante: en un binomio a la 'n', su producto notable tiene n+1 términos, si el signo es positivo todos lo términos serán negativos, si por el contrario el binomio es (a-b) los signos serán "más, menos, más, menos, etc", la potencia de "a" va disminuyendo hasta llegar a "a^0" que no se escribe por ser uno, etc. Todo está explicado allí.
Lo único que no lograba encontrar era el orden que seguían los coeficientes, solo noté que el coeficiente del segundo término correspondía a la potencia del binomio, y siempre era igual al del penúltimo, pero los demás no parecían seguir ningún orden.
Viendo las fórmulas y mientras hacía las operaciones a mano cuando los calculaba, sabía que había un patrón sencillo detrás, hice operaciones básicas pero no fue hasta que concebí (erróneamente) el factorial como generador de los coeficientes cuando caí en la cuenta: los coeficientes seguían la forma "como de una escalerita o una pirámide".
Primero observé los coeficientes de los segundos términos, todos iban "1, 2, 3, 4, 5", después y como dije, los coeficientes del penúltimo término eran siempre los mismos que los del segundo. Hice todos esos números aún lado y dejé solo la parte incomprensible de coeficientes, es decir, los de en medio. Vi los números 6, 10, 15 y 20. No tenía idea de cómo relacionarlos (o al menos no una que creyera que va a funcionar a largo plazo), pero sí conocía otra que logré identificar: "3, 6, 10", eran los números "de la pirámide".
Entonces comencé a visualizarlo: un ladrillo, uno, era un piso; si queríamos seguir la construcción de pirámide debíamos poner dos abajo de ese ladrillo para hacerla de 2 pisos, si queríamos agregar un tercer piso era cuestión de poner 3 como base sobre los otros ya construidos y tendríamos 6 ladrillos, para un cuarto piso tendríamos 10. Hasta ahí necesité saber para darme cuenta de que los coeficientes seguían la formación de la pirámide.
Se me ocurrió una brillante idea: si centraba los números, obtendría una pirámide, y allí tendría una mejor vista, así que seleccioné toda la tabla y le di "centrar". En seguida se formó una pirámide donde pude ver más claramente las cosas: las constantes 'a' y 'b' delineaban la pirámide, luego los números "1, 2, 3, 4, 5, 6" formaban una segunda barrera, y luego estaba el otro grupo de números.
Me bastó observar esa construcción de coeficientes unos segundos para percibirlo:
-"3 y 3... son 6.
6 y 4: 10. 6 y 4: 10.
10 y 10, 20. 10 y 5, 15".
¡Lo tenía! Los coeficientes de en medio se formaban con esa formación de pirámide. Los dos números contiguos se sumaban y se formaba el tercero, que estaba situado abajo de ellos y en el centro. Cuadré todo, los revisé no para comprobarlo, sino para sorprenderme de mi genialidad.
Después lo recordé súbitamente: creía haber visto esa formación antes, no recuerdo cómo ni cuándo fue, pero lo más seguro es que haya sido en esas largas navegaciones que uno hace a través de los enlaces de Wikipedia, donde un artículo te lleva a otro, hasta que terminas recorriendo medio planeta siguiendo los enlaces. Sabía que era algo de "Pascal", así que probé poniendo en el buscador de la Wikipedia: "Pirámide de Pascal" para comprobarlo.
No me arrojó ningún artículo, pero sí me sugirió en el primer puesto el "Triángulo de Pascal". Sabía que era ese. Hice click y solo me bastó leer las primeras líneas para darme cuenta de que mi descubrimiento, como muchísimas otras cosas que ilusionado creía haber vislumbrado por vez primera, era algo descubierto por alguien más hace mucho tiempo:
el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular.
Supe que hasta ahí había llegado. Pascal lo había descubierto antes que yo. Aunque tampoco me sorprendió, mi caí en desgracia, pues era una sucesión vista tantas veces que era natural que alguien se decidiera antes a sacar tantas potencias binomiales como pudiera y luego comparar sus coeficientes. =/
Y en efecto, la secuencia estaba allí:
Y después seguí leyendo:
Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal[...]
También se le denomina como Triangolo di Tartaglia debido a que el matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia fue el primero en describirlo en un tratado de la primera mitad del siglo XVI.
En regiones como Uretra, India o Persia, esta formulación era bien conocida y fue estudiada por matemáticos como Al-Karaji, 2 cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar Jayyam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo describió en el año 1303.
Es decir, ¡todo el mundo lo sabía! Esta secuencia es algo que todo matemático que como mínimo indague de forma casual, como yo, lo va a descubrir alguna vez en su vida. No tengo dudas de que otros MILES más lo hayan descubierto por cuenta propia antes. Después de todo y como dije, ponerse a calcular las potencias de binomios es fácil, y llega el punto en el que uno dice "Bueno, aquí debe haber alguna secuencia".
Y ya está, quería anunciar que hoy 26 de enero del 2012, alrededor de las 12 o 1 del día, yo, Darío Alafita Pérez, he descubierto el... el... La Formación de Pirámide Binomial de Darío. ¡Sí señor! >:-(
